Question

如图，△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，∠BCD=90°，PA⊥平面ABC，DC=BC=2PA，E，F分别为DB，CB的中点，
（1）证明PE∥平面ABC；
（2）证明AE⊥BC；
（3）求直线PF与平面BCD所成的角的大小．

Answer 1

（1）连接EF，AF


∵平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，CD⊥BC
∴CD⊥平面ABC，结合PA⊥平面ABC，可得PA∥CD
∵EF是△BCD的中位线，∴EF∥CD且EF=

1

2

CD
∵PA∥CD且PA=

1

2

CD，∴四边形PAFE是平行四边形，可得PE∥AF，
∵PE?平面ABC，AF?平面ABC，∴PE∥平面ABC；
（2）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA
∵正△ABC中，F为BC中点，∴BC⊥AF
∵AF、PA是平面PAFE内的相交直线，
∴BC⊥平面PAFE，
∵AF?平面PAFE，∴AE⊥BC；
（3）∵平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，AF⊥BC
∴AF⊥平面BCD，结合PE∥AF可得PE⊥平面BCD，
因此，∠PFE就是直线PF与平面BCD所成的角
∵正△ABC中，F为BC中点，∴AF=

3

2

BC，可得PE=

3

2

BC，
又∵△BCD的中位线FE=

1

2

CD，CD=BC，∴FE=

1

2

BC
因此RtPEF中，tan∠PFE=

PE

FE

=

3

，可得∠PFE=60°
即直线PF与平面BCD所成的角的大小为60°．