Question

求过定点（0，1）的直线被双曲线x2-

y2

4

=1截得的弦中点轨迹方程．

Answer 1

分析：方法一：利用直线方程与双曲线方程联立，得（4-k²）x²-2kx-5=0，设方程（*）的解为x₁，x₂，则△=4k²+20（4-k²）＞0，借助于（0，1）是中点可求；
方法二：设弦的两个端点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦中点为P（x，y），代入方程，作差，再借助于（0，1）是中点求解．

解答：解：方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为y=kx+1，它被双曲线截得的弦为AB对应的中点为P（x，y），
由

y=kx+1 x2- y2 4 =1

得（4-k²）x²-2kx-5=0（*）
设方程（*）的解为x₁，x₂，则△=4k²+20（4-k²）＞0，
∴16k2＜80，|k|＜

5

，
且x1+x2=

2k

4-k2

，x1x2=-

5

4-k2

，
∴x=

1

2

(x1+x2)=

k

4-k2

，y=

1

2

(y1+y2)=

1

2

(x1+x2)+1=

4

4-k2

，

x= k 4-k2 y= 4 4-k2

得4x²-y²+y=0（y＜-4或y＞0）．
方法二：设弦的两个端点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦中点为P（x，y），
则

4x12-y12=4 4x22-y22=4

得：4（x₁+x₂）（x₁-x₂）=（y₁+y₂）（y₁-y₂），
∴

y1+y2

x1+x2

=

4(x1-x2)

y1-y2

，即

y

x

=

4x

y-1

，即4x²-y²+y=0（图象的一部分）

点评：处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法--“点差法”，通常运用于弦中点（中点弦）问题，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，但必须以直线与曲线有交点为前提．如本题采用数形结合法，验证以Q为中点的弦不存在，本题亦可利用假设直线方程与双曲线联立的方法，此时则需验证方程的判别式．