Question

设a＞0且a≠1，f(x)=loga(x+

x2-1

)（x≥1）
（1）求函数f（x）的反函数f^-1（x）及其定义域．（2）若f-1(n)＜

3n+3-n

2

(n∈N*)，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）、求出函数f（x）的反函数f^-1（x）后，分a＞1和0＜a＜1两种情况求反函数f^-1（x）的定义域．
（2）、把反函数中的x换成n，然后按不等多的运算法则进行求解．

解答：解（Ⅰ）∵f(x)=loga(x+

x2-1

)（x≥1），
∴ay=x+ 

x2-1

(x≥1)，∴

x2-1

=ay-x，
∴a^2y-2a^yx+1=0，（x≥1），∴x=

a2y+1

2ay

=

ay+a-y

2

，
互换x，y得f-1(x)=

ax+a-x

2

．
当a＞1时，定义域为[0，+∞）
当0＜a＜1时，定义域为（-∞，0]
（Ⅱ）f-1(n)＜

3n+3-n

2

(n∈N*)，由（1）中反函数f^-1（x）定义域可得a＞1，
即

an+a-n

2

＜

3n+3-n

2

即（aⁿ-3ⁿ）[（3a）ⁿ-1]＜0
即

an-3n＜0 (3a)n-1＞0

∴

1

3

＜a＜3，
又由a＞1，则a的取值范围是（1，3）．

点评：根据指数函数和对数函数的性质正确求出函数f（x）的反函数f^-1（x）是解题的关键．