Question

（本小题满分12分）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）先将函数化简，化简时先用2倍角公式降幂，在将角统一，最后用化一公式化简成的形式。再将代入正弦增区间公式即可。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以在区间上有两个不同的实数根等价于和的图像有两个交点，利用数形结合即可解决此题。
试题解析：（Ⅰ）
      
      
由解得      
      
所以的递增区间是：      
（Ⅱ）因为，所以
令
“关于的方程在内有两个不同的实数根”等价于“函数，和的图象有两个不同的交点”.      
在同一直角坐标系中作出函数，和的图象如下：
      
由图象可知：要使“函数，和的图象有两个不
同的交点”，必有，即
因此的取值范围是.