Question

【题目】问：有多少种不同的方法将集合中的元素归入三个（有序）集合，使得每个元素至少含于其中一个集合之中，这三个集合的交是空集，而其中任两个集合的交都不是空集?

Answer 1

【答案】1230

【解析】

如图2，考虑韦恩图所分成的七个部分，分别用表示．

现将的元素填入各个部分中，由题意，知处不能填数，而处必须填有数字，且所填元素互不相同（否则，相同元素将归入区域中）；处可以填或不填数字，不同的区域中不再填有相同元素（否则，又将归入中）．

用表示处所填数字的个数，下同．

由对称性，不妨按情形列举，则有四种情形：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

对于情形（1），从中各取一数分别置于格，有种方法，剩下两数各随意放入格，共有种方法．于是，情形（1）有种．

对于情形（2）中的，含两个数的格有三种情形，对于其中任一情形，中取两数放入一格，另外两格各放一数，有种，剩下一数放于格之一，有3种方法．于是，情形（2）有种．

对于情形（3）中的，含一个数的格有三种情形，对于其中任一情形，中取一数放入一格，另外取两数放入一格，剩下两数放入另一格，有种．于是，情形（3）有种．

对于情形（4）中的，含三个数的格有三种情形，对任一情形，中取三个数放入一格，另外的两格各放一个数，有种．于是，情形（4）有种．

综上，共有（种）．