Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=24，a₆=18．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）当n为何值时，S_n最大，并求S_n的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列方程组求出首项和公差，然后直接代入等差数列的通项公式求解；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的首项和公差直接代入等差数列的前n项和公式求解；
（Ⅲ）利用二次函数的性质求前n项和的最大值．

解答：解：设等差数列的首项为a₁，公差为d，
由

a3=a1+2d=24 a6=a1+5d=18

，得

a1=28 d=-2

．
（Ⅰ）a_n=a₁+（n-1）d=28-2（n-1）=30-2n；
（Ⅱ）Sn=na1+

n(n-1)d

2

=28n+

n(n-1)•(-2)

2

=-n2+29n．
（Ⅲ）因为Sn=-n2+29n，
由二次函数的性质可得，当n=

29

2

时函数有最大值，
而n∈N^*，所以，当n=14或15时，S_n最大，最大值为210．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，训练了利用二次函数求最值，是基础题．