Question

如果cos⁵θ-sin⁵θ＜7（sin³θ-cos³θ），θ∈[0，2π），那么θ的取值范围是

(

π

4

，

5π

4

)

．

Answer 1

分析：不等式等价于sin3θ+

1

7

sin5θ＞cos3θ+

1

7

cos5θ，又f(x)=x3+

1

7

x5是（-∞，+∞）上的增函数，所以sinθ＞cosθ，再由θ∈[0，2π），可得θ的取值范围．

解答：解：不等式cos⁵θ-sin⁵θ＜7（sin³θ-cos³θ），
等价于sin3θ+

1

7

sin5θ＞cos3θ+

1

7

cos5θ．
又f(x)=x3+

1

7

x5是（-∞，+∞）上的增函数，所以sinθ＞cosθ，
故有2kπ+

π

4

＜θ＜2kπ+

5π

4

 (k∈Z）．
再由θ∈[0，2π），所以θ的取值范围是(

π

4

，

5π

4

)，
故答案为 (

π

4

，

5π

4

)．

点评：本题主要考查三角不等式的解法，函数的单调性的应用，属于中档题．