Question

设函数f（x）=2-3e^x的图象与x轴相交于点P，求曲线在点P处的切线的方程，并说明你的解答中的主要步骤（三步）．

Answer 1

分析：先设出点P的坐标（x₀，0），根据函数f（x）=2-3e^x的图象与x轴相交于点P求出点P的坐标，然后求出函数在x=x₀处的导数，即切线的斜率，最后利用点斜式求出直线方程，最后写成斜截式即可．

解答：解：∵点P在X轴上，∴设P（x₀，0），（1分）
则切线斜率为f'（x₀）（2分），
∵f（x）=2-3e^x与X轴交于点P，则有0=2-3ex0，（3分）
ex0=

2

3

，x0=ln

2

3

，（5分）
∵f'（x）=-3e^x，（7分）
切线斜率为f′(x0)=-3eln

2

3

=-2，（8分）
∴切线方程为y-0=f′(x0)(x-x0)=-2(x-ln

2

3

)，即y=-2x+2ln

2

3

．（10分）
第一步：求出点P坐标；
第二步：求出函数在x=x₀处的导数，即切线的斜率；
第三步：求出切线方程．（12分，如果少了一步，或不够简明，扣1分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，解题的基本步骤是第一步：求出点P坐标；第二步：求出函数在x=x₀处的导数，即切线的斜率；第三步：求出切线方程．