Question

已知数列{a_n}，{b_n}与函数f（x），g（x），x∈R满足条件：a_n=b_n，f（b_n）=g（b_n+1）（n∈N*）。
（1）若f（x）≥tx+1，t≠0，t≠2，g（x）=2x，f（b）≠g（b），存在，求的值；
（2）若函数y=f（x）为R上的增函数，g（x）=f^-1（x），b=1，f（1）＜1，证明对任意n∈N*，a_n+1＜a_n（用t表示）。

Answer 1

解：（1）由题设知得
又已知，可得
由可知
所以是等比数列，其首项为，公比为，于是

即
又存在，可得
所以-2＜t＜2且t≠0
∴。
（2）因为
所以
即
下面用数学归纳法证明a_n+1＜a_n（n∈N*）
（i）当n=1时，由f（x）为增函数，且＜1，得
＜1
＜1
＜
即a₂＜a₁，结论成立
（ii）假设n=k时结论成立，即＜，由f（x）为增函数，得
f（a_k+1）＜f（a_k），即＜
进而得＜f（）即＜
这就是说当n=k+1时，结论也成立
根据（i）（ii）可知，对任意的n∈N*，a_n+1＜a_n。