Question

（2013•湛江二模）如图，在长方体ABCD一A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，AD=3，E为CD中点，三棱 锥A₁-AB₁E的体积是6．
（1）设P是棱BB₁的中点，证明：CP∥平面AEB₁；
（2）求AB的长；
（3）求二面角B-AB₁-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）因为P是棱BB₁的中点，可想到取AB₁的中点M，由三角形中位线知识证明四边形PCEM是平行四边形，由此可得
PC∥EM，然后利用线面平行的判定即可得到结论；
（2）题目给出了三棱锥A₁-AB₁E的体积是6，借助于等积法可求AB的长度；
（3）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用平面法向量所成角的余弦值求二面角的余弦值．

解答：（1）证明：取AB₁的中点M，连结PM，ME．
则PM∥BA∥CE，PM=

1

2

AB=CE．
即四边形PCEM是平行四边形，所以PC∥EM．
又EM?平面AEB₁，PC?平面AEB₁．
∴CP∥平面AEB₁；
（2）解：由题意VA1-AB1E=VE-AB1A1．
点E到平面AB₁A₁的距离是AD=3，S△AB1A1=

1

2

•AB•AA1=

1

2

AB•2=AB．
所以

1

3

•3•AB=6，即AB=6；

（3）解：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA₁所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz．
则A（0，0，0），B₁（6，0，2），E（3，3，0），

AB1

=(6，0，2)，

AE

=(3，3，0)．
设平面AB₁E的法向量为

n

=(x，y，z)．
由

n • AB1 =0 n • AE =0

，得

6x+2z=0 3x+3y=0

，取x=1，得y=-1，z=-3．
所以

n

=(1，-1，-3)．
由平面ABB₁的一个法向量为

m

=(0，1，0)．
并设二面角B-AB₁-E的大小为α，
则cosα=|cos＜

m

，

n

＞|=|

-1

12+(-1)2+32 •1

|=

11

11

．
所以二面角B-AB₁-E的余弦值为

11

11

．

点评：本题考查了线面平行的判定，关键是寻求定理成立的条件，常借助于三角形的中位线处理．训练了等积法求点到面的距离或线段的长度，考查了利用平面法向量求二面角的余弦值，是中档题．