Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}中，b₁=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先对进行整理可得到，即数列是首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到，进而得到．
（Ⅱ）用数学归纳法证明．当n=1时可得到b₁=a₁=2满足条件，然后假设当n=k时满足条件进而得到当n=k+1时再对进行整理得到=，进而可得证．
解答：解：（Ⅰ）由题设：==，．
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，
即a_n的通项公式为，n=1，2，3，．
（Ⅱ）用数学归纳法证明．
（ⅰ）当n=1时，因，b₁=a₁=2，所以，结论成立．
（ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即，
也即．
当n=k+1时，==，
又，
所以=．
也就是说，当n=k+1时，结论成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知，n=1，2，3，．
点评：本题主要考查求数列的通项公式的方法--构造法和数学归纳法的一般过程．考查综合运用能力和计算能力．