Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是B₁C₁的中点，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，连接AO，CE，求异面直线AO与CE所成的角的余弦．

Answer 1

分析：本题可以建立空间坐标系，求出两异面直线的方向向量，利用数量积公式求出两向量夹角余弦的绝对值，即所求的异面直线A₁D与EO所成角的余弦值

解答：解：如图以DA所在直线为X轴，以DC所在直线为Y轴，以DD₁所在直线为Z轴建立如图的坐标系，由题设正方体的棱长为2，
则有A（2，0，0），O（1，1，2），C（0，2，0），E（1，2，2），
∴

AO

=（-1，1，2），

CE

=（1，0，2），
故cos＜

AO，

CE

＞=

-1+4

6 × 5

=

30

10

．
故异面直线A₁D与EO所成角的余弦值为

30

10

．

点评：本题考查异面直线所成角的求法，由于两条异面直线所存在的背景是一个正方体，所以用向量坐标运算求解更方便，用向量法求异面直线的夹角最大的好处是不用再作角，证角，简化了思维．