题目内容

已知函数f（x）=x|x-a|-2，a∈R
（1）当a=3时，解不等式f（x）＜|x-2|；
（2）当x∈（0，2]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】分析：（1）a=3时，f（x）＜|x-2|?x|x-3|-2＜|x-2|下面对x的取值进行分类讨论，转化为整式不等式，即可求得原不等式的解集；
（2）由于，在x∈（0，2]恒成立，令，，x∈（0，2]则只需g（x）max＜a＜h（x）min接下来利用研究函数g（x）的单调性即可求出实数a的取值范围．
解答：解：（1）a=3时，f（x）＜|x-2|?x|x-3|-2＜|x-2|等价于（3分）
解得x＜2或2＜x＜3或3≤x＜4
即原不等式的解集为{x|x＜2或2＜x＜4}（6分）
（2）（7分），在x∈（0，2]恒成立 （9分）
令，，x∈（0，2]
则只需g（x）max＜a＜h（x）min
∵在（0，2]上单调递增
∴（10分）
又在（0，2]上是减函数
∴（11分）
∴实数a的取值范围是（）（12分）
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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