Question

如图，四边形OACB中，a，b，c△ABC的内角A，B，C的对边，且满足sinB+sinC=2sin（B+C）．
（Ⅰ）证明：b+c=2a；
（Ⅱ）若b=c，设∠AOB=θ，（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求四边形OACB面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知等式右边利用内角和定理及诱导公式变形，再利用正弦定理化简即可得证；
（Ⅱ）由b+c=2a，b=c，得到a=b=c，即三角形ABC为等边三角形，四边形ACBO面积=三角形AOB面积+三角形ABC面积，表示出四边形ACBO面积，利用正弦函数的值域即可确定出面积最大值．

解答：（Ⅰ）证明：∵sin（B+C）=sinA，
∴sinB+sinC=2sinA，
利用正弦定理化简得：b+c=2a；
（Ⅱ）解：∵b+c=2a，b=c，
∴a=b=c，即△ABC为等边三角形，
∴S_{四边形OACB}=S_△OAB+S_△ABC=

1

2

OA•OBsinθ+

3

4

AB²=sinθ+

3

4

（OA²+OB²-2OA•OBcosθ）=sinθ-

3

cosθ+

5 3

4

=2sin（θ-

π

3

）+

5 3

4

，
∵θ∈（0，π），
∴θ-

π

3

∈（-

π

3

，

2π

3

），
当且仅当θ-

π

3

=

π

2

，即θ=

5π

6

时取最大值，S_{四边形OACB}的最大值为2+

5 3

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理是解本题的关键．