Question

若函数y=

(x+1)(x+a)

x

是奇函数，则实数a的值为

-1

．

Answer 1

分析：法一：由函数f（x）为奇函数，根据奇函数的性质得到f（-x）=-f（x），分别代入列出关于a的方程，即可求出a的值．
法二：由奇函数的性质可知，g（x）=（x+1）（x+a）=x²+（a+1）x+a为偶函数，根据偶函数的性质可知，函数的对称轴x=0可求a

解答：解：由题意可得，x≠0，f（-x）=-f（x）
∴

(-x+1)(-x+a)

-x

=-

(x+1)(x+a)

x

整理可得，2（a+1）x=0对任意x≠0都成立
∴a+1=0
∴a=-1
故答案为：-1
法二：∵y=

(x+1)(x+a)

x

是奇函数
由奇函数的性质可知，g（x）=（x+1）（x+a）=x²+（a+1）x+a为偶函数
根据偶函数的性质可知，函数的对称轴x=-（a+1）=0
∴a=-1
故答案为：-1

点评：此题考查了函数奇偶性的性质，当函数为偶函数时有f（-x）=f（x）；当函数为奇函数时有f（-x）=-f（x），熟练掌握此性质是解本题的关键