Question

已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为

 

．

Answer 1

分析：根据题设条件，先设∠B₂F₁B₁=60°，求出双曲线的离心率．再设∠F₁B₂F₂=60°，求出双曲线的离心率．解题的同时要进行验根，避免出现不必要的错误．

解答：解：设双曲线C的焦点坐标是F₁和F₂，虚轴两个端点是B₁和B₂，则四边形F₁B₁F₂B₂为菱形．
若∠B₂F₁B₁=60°，则∠B₂F₁F₂=30°．由勾股定理可知c=

3

b．∴a=

3b2-b2

=

2

b，
故双曲线C的离心率为e=

3 b

2 b

=

6

2

．
若∠F₁B₂F₂=60°，则∠F₁B₂B₁=30°，由勾股定理可知b=

3

c，不满足c＞b，所以不成立．
综上所述，双曲线C的离心率为

6

2

．
答案：

6

2

．

点评：解题时应该分∠B₂F₁B₁=60°和∠F₁B₂F₂=60°两种情况求出双曲线的离心率．解题时要注意a，b，c中c最大．