Question

12．某商场为回馈大客户，开展摸球中奖活动，规则如下：从一个装有质地和大小完全相同的4个白球和一个红球的摸奖箱中随机摸出一球，若摸出红球，则摸球结束，若摸出白球（不放回），则向摸奖箱中放入一个红球后继续进行下一轮摸球，直到摸出红球结束，若大客户在第n轮（n∈N^*）摸到红球，则可获得$10000•{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$的奖金（单位：元）
（Ⅰ）求某位大客户在一次摸球中奖活动中至少获得2500元奖金的概率；
（Ⅱ）设随机变量ξ为某位大客户所能获得的奖金，求随机变量ξ的概率分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意得出：ξ=$10000•{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，确定ξ₁=10000，ξ₂=5000，ξ₃=2500，ξ₄=1250，ξ₅=625，运公式求解概率P（ξ₁=10000），P（ξ₂=5000），P（ξ₃=2500），
P（ξ₄=1250），P（ξ₅=625），运用加法得出至少获得2500元奖金的概率；
（Ⅱ）根据概率分列 求解即可，准确计算．

解答 解；客户摸的次数为1，2，3，4，5
（Ⅰ）根据题意得出：ξ=$10000•{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$
ξ₁=10000，ξ₂=5000，ξ₃=2500，ξ₄=1250，ξ₅=625
P（ξ₁=10000）=$\frac{1}{5}$；
P（ξ₂=5000）=$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{8}{25}$；
P（ξ₃=2500）=$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{36}{125}$；
P（ξ₄=1250）=$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{96}{625}$；
P（ξ₅=625）=$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{1}{5}$×1=$\frac{24}{625}$，
（Ⅱ）某位大客户在一次摸球中奖活动中至少获得2500元奖金的概率为：$\frac{1}{5}$$+\frac{8}{25}$$+\frac{36}{125}$=$\frac{101}{125}$

ξ	10000	5000	2500	1250	625
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{8}{25}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{24}{625}$

所以期望E（ξ）=10000×$\frac{1}{5}$$+5000×\frac{8}{25}$$+2500×\frac{36}{125}$+125×$\frac{96}{625}$$+625×\frac{24}{625}$=4536．

点评 本题考查了古典概率问题在实际问题中的应用，关键是根据题意得出随机变量的值，运用独立事件同时发生的概率计算求解，属于中档题，计算数学期望要仔细认真．