Question

在平面直角坐标系中，已知点P（1，-1），过点P作抛物线T₀：y=x²的切线，其切点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（1）求x₁与x₂的值；
（2）若以点P为圆心的圆与直线MN相切，求圆的面积．

Answer 1

解：（1）由y=x²可得，y′=2x．
∵直线PM与曲线T₀相切，且过点P（1，-1），
∴，即x₁²-2x₁-1=0，
∴，或 ，
同理可得：，或
∵x₁＜x₂，∴，．
（2）由（1）知，x₁+x₂=2，x₁•x₂=-1，
则直线MN的斜率 ，
∴直线M的方程为：y-y₁=（x₁+x₂）（x-x₁），又y₁=x₁²，
∴y-x₁²=（x₁+x₂）x-x₁²-x₁x₂，即2x-y+1=0．
∵点P到直线MN的距离即为圆E的半径，即 ，
故圆E的面积为 ．
分析：（1）由y=x²先求出y′=2x．再由直线PM与曲线T₀相切，且过点P（1，-1），得到 ，或 ．同理可得 ，或 ，然后由x₁＜x₂知 ，．
（2）由题意知，x₁+x₂=2，x₁•x₂=-1，则直线MN的方程为：2x-y+1=0．再由点P到直线MN的距离即为圆E的半径，从而可求出圆E的面积．
点评：本题以直线与抛物线的位置关系为载体，考查直线与抛物线相切，考查点线距离公式，解题的关键是合理运用导数求切线方程