Question

已知函数f（x）=x+

a

x

，且f（1）=2．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）此函数在区间（1，+∞）上是增函数还是减函数？并用定义证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由题意可得 1+

a

1

-2，哟此解得a的值．
（2）由（1）可得fx）=x+

1

x

，求得它的定义域关于原点对称．再由f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（3）此函数在区间（1，+∞）上是增函数，利用函数的单调性的定义证明函数在区间（1，+∞）上是增函数．

解答：解：（1）由题意可得 1+

a

1

-2，解得a=1．
（2）由（1）可得fx）=x+

1

x

，它的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称．
再由f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（3）此函数在区间（1，+∞）上是增函数．
证明：设x₂＞x₁＞1，可得f（x₂）-f（x₁）=（x2+

1

x2

）-（x1+

1

x1

）=x₂-x₁+

x1-x2

x1•x2

=（x₂-x₁）（1-

1

x1•x2

）．
由题设可得x₂-x₁＞0，

1

x1•x2

＜1，故 1-

1

x1•x2

＞0，∴f （x₂）-f（x₁）＞0，即 f（x₂）＞f（x₁），
故函数在区间（1，+∞）上是增函数．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，属于中档题．