Question

（四川延考理19）如图，一张平行四边形的硬纸片中，，。沿它的对角线把△折起，使点到达平面外点的位置。

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）如果△为等腰三角形，求二面角的大小

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：因为，，

所以，。

因为折叠过程中，，

所以，又，故平面。

又平面，所以平面平面。

（Ⅱ）解法一：如图，延长到，使，连结，。

因为，，，，所以为正方形，。

由于，都与平面垂直，所以，可知。

因此只有时，△为等腰三角形。

在△中，，又，

所以△为等边三角形，。

由（Ⅰ）可知，，所以为二面角的平面角，即二面角的大小为。

解法二：以为坐标原点，射线，分别为轴正半轴和轴正半轴，建立如图的空间直角坐标系，则，，。

由（Ⅰ）可设点的坐标为，其中，则有。      ①

因为△为等腰三角形，所以或。

若，则有。

则此得，，不合题意。

若，则有。          ②

联立①和②得，。故点的坐标为。

由于，，所以与夹角的大小等于二面角的大小。

又，，

所以  即二面角的大小为。