Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC；
（1）求角B的大小；
（2）设

m

=(sinA，cos2A)，

n

=(4k，1)(k＞1)，且

m

•

n

的最大值是5，求k的值．

Answer 1

（I）∵（2a-c）cosB=bcosC，∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）
∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA∵0＜A＜π，∴sinA≠0．
∴cosB=

1

2

∵0＜B＜π，∴B=

π

3

．
（II）

m

•

n

=4ksinA+cos2A=-2sin²A+4ksinA+1，A∈（0，

22

3

）
设sinA=t，则t∈（0，1]．则

m

•

n

=-2t²+4kt+1=-2（t-k）²+1+2k²，t∈（0，1]
∵k＞1，∴t=1时，

m

•

n

取最大值．依题意得，-2+4k+1=5，∴k=

3

2

．