题目内容
【题目】已知函数
.
若
在其定义域上单调递减，求
的取值范围；
若存在两个不同极值点
与
，且
，求证
.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
先对函数求导，由
在其定义域上单调递减，得到
恒成立，即
恒成立，用导数的方法求出
的最小值即可；
（2）若
存在两个不同极值点
与
，且
，欲证：
，只需证：
，即证
，再根据
，
得到
，
，再令
，得到
，设
，由导数方法研究其单调性即可得出结论.
解：（1）由于的定义域为
，且
，若在其定义域上单调递减，则
恒成立，即恒成立.
令
，
则随着
的变化，与
的变化如下表所示
|
|
|
|
| - | 0 | + |
| ↘ | 极小值 | ↗ |
所以
.
所以
（2）若存在两个不同极值点与，且，
欲证：.
只需证：.
只需证：
.
只需证：.
因为，，，，
所以
，
所以
令，则
，则，
设，则
，
可知函数
在
上单调递增
所以
.
所以成立.
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