[题目]已知函数.若在其定义域上单调递减.求的取值范围,若存在两个不同极值点与.且.求证. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知函数.

若在其定义域上单调递减，求的取值范围；

若存在两个不同极值点与，且，求证.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

先对函数求导，由在其定义域上单调递减，得到恒成立，即恒成立，用导数的方法求出的最小值即可；

（2）若存在两个不同极值点与，且，欲证：，只需证：，即证，再根据，得到，，再令，得到，设，由导数方法研究其单调性即可得出结论.

解：（1）由于的定义域为，且，若在其定义域上单调递减，则恒成立，即恒成立.

令，

则随着的变化，与的变化如下表所示


-	0	+
↘	极小值	↗

所以.

所以

（2）若存在两个不同极值点与，且，

欲证：.

只需证：.

因为，，，，

所以，

所以

令，则，则，

设，则，

可知函数在上单调递增

所以 .

所以成立.

练习册系列答案

（Ⅰ）从A市随机抽取一名使用智能手机的居民，试估计该居民手机内安装APP的个数不低于30的概率；

（Ⅱ）从A市随机抽取3名使用智能手机的居民进一步做调研，用X表示这3人中手机内安装APP的个数在[20,40)的人数．

①求随机变量X的分布列及数学期望；

②用Y1表示这3人中安装APP个数低于20的人数，用Y2表示这3人中手机内安装APP的个数不低于40的人数．试比较EY1和EY2的大小．(只需写出结论)

【题目】六棱锥中，底面是正六边形，底面，给出下列四个命题：

①线段的长是点到线段的距离；

②异面直线与所成角是；

③线段的长是直线与平面的距离；

④是二面角平面角.

其中所有真命题的序号是_______________.

【题目】平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，过F的动直线l交于M、N两点.

（1）若l垂直于x轴，且线段MN的长为1，求的方程；

（2）若，求线段MN的中点P的轨迹方程；

（3）求的取值范围.

【题目】如图，马路南边有一小池塘，池塘岸长40米，池塘的最远端到的距离为400米，且池塘的边界为抛物线型，现要在池塘的周边建一个等腰梯形的环池塘小路，且均与小池塘岸线相切，记.

（1）求小路的总长，用表示；

（2）若在小路与小池塘之间（图中阴影区域）铺上草坪，求所需铺草坪面积最小时，的值.

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）当时，求的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）设函数，讨论函数的零点个数.

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为．

（Ⅰ）求的普通方程和的直角坐标方程；

（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为45°的直线，交于点，求的最大值与最小值.

【题目】已知椭圆的上下两个焦点分别为，过点与轴垂直的直线交椭圆于两点，的面积为，椭圆的长轴长是短轴长的倍.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭园交于两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围，

【题目】已知椭圆（常数），P是曲线C上的动点，M是曲线C的右顶点，定点A的坐标为.

（1）若M与A重合，求曲线C的焦距.

（2）若，求的最大值与最小值.

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