Question

过单位圆x²+y²=1是位于第一象限的任意一点作圆的切线，则该切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值是

 

．

Answer 1

分析：设出切点得到切线方程，分别求出与坐标轴的交点坐标，表示出切线与两坐标轴所围成的三角形的面积，然后利用基本不等式求出面积的最小值即可．

解答：解：设切点坐标为（x₀，y₀），因为切线方程的斜率与过切点的半径所在的直线垂直，过切点的半径所在的直线的斜率为

y0

x0

，则切线方程的斜率为-

x0

y0

，所以切线方程为y-y₀=-

x0

y0

（x-x₀），因为切点在圆上所以x₀²+y₀²=1，化简得切线方程为x₀x+y₀y=1，
该切线与两坐标轴的交点坐标分别是(

1

x0

，0)，(0，

1

y0

)，
故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是

1

2x0y0

，又x₀²+y₀²=1，
故

1

2x0y0

≥

1

x  2 0 + y  2 0

=1，即切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值是1．
故答案为1．

点评：此题是一道中档题，要求会求曲线上过某点的切线方程，会利用基本不等式求函数的最值．出现问题最多的是许多学生写不出切线方程，不会求字母已知数的方程，应多加训练此类题形．