Question

已知偶函数f（x）=cosθsinx-sin（x-θ）+（tanθ-2）sinx-sinθ的最小值是0，求f（x）的最大值及此时x的集合．

Answer 1

【答案】分析：把f（x）利用两角差的正弦函数公式化简后根据函数是偶函数即f（-x）=f（x）得到tanθ=2，则f（x）=sinθ（cosx-1），然后根据同角三角函数间的基本关系求出sinθ和cosθ，把sinθ的两个值代入到f（x）中，根据f（x）的最小值为0舍去一个，得到f（x）的解析式为f（x）=（cosx-1），f（x）取最大值时cosx取-1，根据余弦函数的图象即可得到x取值范围．
解答：解：f（x）=cosθsinx-（sinxcosθ-cosxsinθ）+（tanθ-2）sinx-sinθ
=sinθcosx+（tanθ-2）sinx-sinθ
因为f（x）是偶函数，所以对任意x∈R，都有f（-x）=f（x），
即sinθcos（-x）+（tanθ-2）sin（-x）-sinθ=sinθcosx+（tanθ-2）sinx-sinθ，
即（tanθ-2）sinx=0，所以tanθ=2
由解得或，此时，f（x）=sinθ（cosx-1）．
当sinθ=时，f（x）=（cosx-1）最大值为0，不合题意最小值为0，舍去；
当sinθ=时，f（x）=（cosx-1）最小值为0，
当cosx=-1时，f（x）有最大值为，自变量x的集合为{x|x=2kπ+π，k∈Z}．
点评：考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值以及掌握函数是偶函数时满足的条件，会根据余弦函数的图象求出函数的最值及会求取最值时角度的范围．