Question

【题目】已知函数（其中为自然对数的底数）

（1）设过点的直线与曲线相切于点，求的值；

（2）函数的的导函数为，若在上恰有两个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件导数的几何意义分析求解；（2）先对函数令求导，再运用导数与函数的单调性之间的关系判断单调性，然后求出最小值，建立不等式进行分析求解：

（1）因为函数，所以，

故直线的斜率为，

点的切线的方程为，

因直线过，

所以，

即

解之得，

（2）令，

所以，

设，

则，

因为函数在上单增，

若在上恰有两个零点，

则在有一个零点，

所以，

∴在上递减，在上递增，

所以在上有最小值，

因为（），

设（），则，

令，得，

当时， ， 递增，

当时， ， 递减，

所以，

∴恒成立，

若有两个零点，则有， ， ，

由， ，得，

综上，实数的取值范围是.