Question

已知函数f（x）=

x

x-2

．
（1）判断函数f（x）在（-2，2）上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（2）求函数f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）设-2＜x₁＜x₂＜2，通过作差可判断f（x₁）与f（x₂）的大小，根据函数单调性的定义可作出判断；
（2）由（1）可知函数f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上的单调性，利用单调性可求得函数的最值，从而可得值域；

解答：解：（1）函数f（x）在（-2，2）上是减函数．
证明：设-2＜x₁＜x₂＜2，f（x₁）-f（x₂）=

x1

x1-2

-

x2

x2-2

=

2(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

，
∵-2＜x₁＜x₂＜2，∴x₂-x₁＞0，x₁-2＜0，x₂-2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在（-2，2）上是减函数．
（2）由（1）知函数f（x）在（-2，2）上是减函数，
所以函数f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上也是减函数，故函数的最大值为f（-

1

2

）=

1

5

，最小值为f（

1

2

）=-

1

3

，
所以函数f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上的值域为[-

1

3

，

1

5

]．

点评：本题考查函数单调性的判断及证明、应用单调性求函数的最值，属基础题，熟练掌握单调性的证明是解决问题的基础．