Question

16、如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，E，F，G分别是AA₁，AC，BB₁的中点，且CG⊥C₁G．
（Ⅰ）求证：CG∥平面BEF； 
（Ⅱ）求证：CG⊥平面A₁C₁G．

Answer 1

分析：（I）要证明CG∥平面BEF，即证明平面BEF中存在一条直线与CG平行，连接AG交BE于D，则DF符合要求，证明DF∥CG后，利用线面平行的判定定理，即可得到答案．
（II）若要证明CG⊥平面A₁C₁G，我们可以证明平面A₁C₁G中有两条相交直线与CG垂直，根据已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，E，F，G分别是AA₁，AC，BB₁的中点，且CG⊥C₁G，结合线面垂直的判定定理，即可得到答案．

解答：证明：（Ⅰ）连接AG交BE于D，连接DF，EG．
∵E，G分别是AA1，BB1的中点，
∴AE∥BG且AE=BG，∴四边形AEGB是矩形．
∴D是AG的中点（3分）
又∵F是AC的中点，
∴DF∥CG（5分）
则由DF?平面BEF，
CG?平面BEF，
∴CG∥平面BEF，
（Ⅱ）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥底面A₁B₁C₁，
∴C₁C⊥A₁C₁．
又∵∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°，
即C₁B₁⊥A₁C₁，
∴A₁C₁⊥面B₁C₁CB（9分）
而CG?面B₁C₁CB，
∴A₁C₁⊥CG（12分）
又CG⊥C₁G，∴
CG⊥平面A₁C₁G（14分）

点评：本题考查的知识点是直线 与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，其中熟练掌握判定定理的使用方法和步骤是解答本题的关键．