Question

【题目】已知函数，直线.

（1）若直线与曲线有且仅有一个公共点，求公共点横坐标的值；

（2）若，求证： .

Answer 1

【答案】（1）公共点的横坐标为和；（2）见解析

【解析】试题分析：

(1)利用题意分类讨论 和 可得公共点横坐标的值为和；

(2)利用不等式的特点构造函数，结合新函数的特点和题意可得结论成立.

试题解析：

解：（1）由，得，

易知时， 单调递减， 时， 单调递增，

根据直线的方程，可得恒过点，

①当时，直线垂直轴，与曲线相交于一点，即焦点横坐标为；

②当时，设切线，直线可化为，斜率，

又直线和曲线均过点，则满足，

所以，两边约去后，

可得，化简得，

切点横坐标，综上所述，由①和②可知，该公共点的横坐标为和；

（2）①若时，欲证，

由题意，由问可知在上单调递减，证对恒成立即可.

设函数，则，

即，

设，则，

易知时， 单调递减， 时， 单调递增，

当时，有，且满足，故，

即，又，则，

所以在上单调递减，有，

即，所以.