Question

已知函数f(x)＝a－是偶函数，a为实常数.

(1)求b的值；

(2)当a＝1时，是否存在n>m>0，使得函数y＝f(x)在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，若存在，求出m，n的值，否则，说明理由.

(3)若在函数定义域内总存在区间[m，n](m<n)，使得y＝f(x)在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，求实数a的取值范围.

Answer 1

(1)由已知，可得f(x)＝a－的定义域为D＝(－∞，)∪

(，＋∞).

又y＝f(x)是偶函数，故定义域D关于原点对称.

于是，b＝0(否则，当b≠0时，有－∈D且D，即D必不关于原点对称).

又对任意x∈D，有f(x)＝f(－x)，可得b＝0.

因此所求实数b＝0.

(2)由(1)，可知f(x)＝a－(D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)).

观察函数f(x)＝a－的图象，可知：f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，

又n>m>0，

∴y＝f(x)在区间[m，n]上是增函数.

因y＝f(x)在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n].

∴有，

即方程1－＝x，也就是2x²－2x＋1＝0有两个不相等的正根.

∵Δ＝4－8<0，∴此方程无解.

故不存在正实数m，n满足题意.

(3)由(1)，可知f(x)＝a－(D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)).

观察函数f(x)＝a－的图象，

可知：f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，

f(x)在区间(－∞，0)上是减函数.

因y＝f(x)在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，故必有m、n同号.

①当0<m<n时，f(x)在区间[m，n]上是增函数，有，即方程x＝a－，也就是2x²－2ax＋1＝0有两个不相等的正实数根，因此，解得a>(此时，m、n(m<n)取方程2x²－2ax＋1＝0的两根即可).

②当m<n<0时，f(x)在区间[m，n]上是减函数，有，化简得(m－n)a＝0，解得a＝0(此时，m、n(m<n)的取值满足mn＝，且m<n<0即可).

综上所述，所求实数a的取值范围是a＝0或a>.