Question

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若$\frac{a}{cosA}=\frac{{\sqrt{3}c}}{sinC}$，
（1）求A的大小；
（2）若a=3，b+c=3$\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得$\frac{sinA}{cosA}=\frac{{\sqrt{3}sinC}}{sinC}=\sqrt{3}$，结合A的范围即可求得A的值．
（2）由已知及余弦定理可求bc=3，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵$\frac{a}{cosA}=\frac{{\sqrt{3}c}}{sinC}$，
∴$\frac{sinA}{cosA}=\frac{{\sqrt{3}sinC}}{sinC}=\sqrt{3}$，
∴A=60°．…（5分）
（2）∵$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{{{（b+c）}^2}-2bc-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$，…（8分）
∴bc=3，…（10分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力，属于基础题．