Question

已知函数f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）
（I）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（II）当a≤

1

2

时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（I）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程；
（II）当a≤

1

2

时，分类讨论．利用导数的正负，可讨论f（x）的单调性．

解答：解：（I）当a=-1时，f（x）=lnx+x+

2

x

-1
∴f′(x)=

1

x

+1-

2

x2

∴f′（2）=1
∵f（2）=2+ln2
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-2-ln2=x-2，即y=x+ln2；
（II）f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

=

(x-1)[ax-(1-a)]

x2

当0＜a≤

1

2

时，令f′（x）＞0，可得x＜1或x＞

1-a

a

；令f′（x）＜0，可得1＜x＜

1-a

a

；
当a=0时，令f′（x）＞0，可得x＜1；令f′（x）＜0，可得x＞1；
当a＜0时，令f′（x）＞0，可得

1-a

a

＜x＜1；令f′（x）＜0，可得x＜

1-a

a

或x＞1，
综上，当0＜a≤

1

2

时，函数的单调增区间为（-∞，1），（

1-a

a

，+∞）；单调减区间为（1，

1-a

a

）；
当a=0时，函数的单调增区间为（-∞，1）；单调减区间为（1，+∞）；
当a＜0时，单调增区间为（

1-a

a

，1）；单调减区间为（-∞，

1-a

a

），（1，+∞）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键．