Question

（2013•嘉兴一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a=

1

2

c+bcosC．
（I ）求角B的大小
（II）若S△ABC=

3

，求b的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知结合正弦定理可得：sinA=

1

2

sinC+sinBcosC，结合三角形的内角和定理及诱导公式、两角和的三角公式对已知进行化简即可求解cosB，进而可求B
（Ⅱ） 由 S△ABC=

3

，结合三角形的面积公式 

1

2

acsin

1

3

π=

3

，可求ac，然后 结合余弦定理及基本不等式可求b的最小值

解答：解：（Ⅰ）由正弦定理可得：sinA=

1

2

sinC+sinBcosC，…（2分）
又因为A=π-（B+C），所以sinA=sin（B+C），…（4分）
可得sinBcosC+sinCcosB=

1

2

sinC+sinBcosC，…（6分）
即cosB=

1

2

．所以B=

1

3

π                                …（7分）
（Ⅱ） 因为 S△ABC=

3

，所以 

1

2

acsin

1

3

π=

3

，所以ac=4    …（10分）
由余弦定理可知：b²=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac        …（12分）
所以b²≥4，即b≥2，所b的最小值为2．　　　　　　　　…（14分）

点评：本题综合考查了正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式、和差角公式等知识的 综合应用．