Question

已知抛物线y²=-x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点.

（1）求证：OA⊥OB；

（2）当△OAB的面积等于时，求k的值.

Answer 1

（1）证明：如下图，由方程组消去x后，整理得ky²+y-k=0.

设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂)，由韦达定理?y₁·y₂=-1.?

∵A,B在抛物线y²=-x上，

∴y₁²=-x₁,y₂²=-x₂,y₁²·y₂²=x₁x_2.

∵k_OA·k_OB=·===-1,∴OA⊥OB.

(2)解：设直线与x轴交于N，又显然k≠0,

∴令y=0,则x=-1，即N（-1，0）.

∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN=|ON||y₁|+|ON||y₂|=|ON|·|y₁-y₂|,

∴S_△OAB=·1·=.

∵S_△OAB=,∴.解得k=±.