Question

已知抛物线y²=-x与直线l：y=k（x+1）相交于A，B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当三角形OAB面积等于

10

时，求k的值．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立

y=k(x+1) y2=-x

，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系和数量积运算即可证明

OA

•

OB

=0；
（2）利用点到直线的距离公式和弦长公式及三角形的面积计算公式即可得出．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=k(x+1) y2=-x

，∵k≠0，∴可化为y2+

1

k

y-1=0，∴△＞0．
∴y1+y2=-

1

k

，y₁y₂=-1．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=(

1

k

y1-1)(

1

k

y2-1)+y₁y₂=(

1

k2

+1)y1y2-

1

k

(y1+y2)+1=-(

1

k2

+1)+

1

k2

+1=0，
∴OA⊥OB．
（2）由（1）可得点O到直线AB的距离d=

|k|

1+k2

．
|AB|=

(1+ 1 k2 )[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+ 1 k2 )[ 1 k2 -4×(-1)]

=

(1+k2)(1+4k2)

k2

，
∴S_△OAB=

1

2

|AB|•d=

1

2

•

(1+k2)(1+4k2)

k2

•

|k|

1+k2

=

1

2

•

1+4k2

|k|

=

10

，
化为36k²=1．
解得k=±

1

6

．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、点到直线的距离公式和弦长公式及三角形的面积计算公式、数量积运算与向量垂直的关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．