题目内容

16、已知定点M（x0，y0）在第一象限，过M点的圆与两坐标轴相切，它们的半径分别为r1，r2，则r1r2=
x02+y02
．
分析：根据过M点的圆与两坐标轴相切且M在第一象限设出圆心坐标为（r，r），则圆的半径为r，写出圆的方程，把M的坐标代入化简得到关于r的一元二次方程，由题知r1，r2为该方程的两根，根据韦达定理可得r1r2的值．
解答：解：∵点M在第一象限，∴过点M与两坐标轴相切的圆的方程可设为：（x-r）2+（y-r）2=r2，
∵圆过M（x0，y0）点，
∴（x0-r）2+（y0-r）2=r2，整理得：r2-2（x0+y0）r+x02+y02=0，
由题意知r1，r2为该方程的两根，根据韦达定理得：r1r2=x02+y02．
故答案为：x02+y02
点评：考查学生会根据已知条件设出圆的方程，灵活运用韦达定理解决数学问题．掌握直线与圆的位置关系．
练习册系列答案
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精英家教网已知点P1（x0，y0）为双曲线
x2
8b2
-
y2
b2
=1（b为正常数）上任一点，F2为双曲线的右焦点，过P1作右准线的垂线，垂足为A，连接F2A并延长交y轴于P2．
（1）求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程；
（2）设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q（x1，y1）（y1≠0），直线QB，QD分别交y轴于M，N两点．求证：以MN为直径的圆过两定点．
已知点P1（x0，y0）为双曲线
x2
3b2
-
y2
b2
=1(b＞0，b为常数)上任意一点，F2为双曲线的右焦点，过P1作右准线的垂线，垂足为A，连接F2A并延长交y轴于点P2
（1）求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程；
（2）是否存在过点F2的直线l，使直线l与（1）中轨迹在y轴右侧交于R1、R2两不同点，且满足
OR1
•
OR2
=4b2，（O为坐标原点），若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由；
（3）设（1）中轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q（x1，y1）（y1≠0），直线QB、QD分别交y轴于M、N点，求证：以MN为直径的圆恒过两个定点．
已知点P（x0，y0）是渐近线为2x±3y=0且经过定点（6，2
3
）的双曲线C1上的一动点，点Q是P关于双曲线C1实轴A1A2的对称点，设直线PA1与QA2的交点为M（x，y），
（1）求双曲线C1的方程；
（2）求动点M的轨迹C2的方程；
（3）已知x轴上一定点N（1，0），过N点斜率不为0的直线L交C2于A、B两点，x轴上是否存在定点 K（x0，0）使得∠AKN=∠BKN？若存在，求出点K的坐标；若不存在，说明理由．
已知点P（x0，y0）是渐近线为2x±3y=0且经过定点（6，2
3
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（1）求双曲线C1的方程；
（2）求动点M的轨迹C2的方程；
（3）已知x轴上一定点N（1，0），过N点斜率不为0的直线L交C2于A、B两点，x轴上是否存在定点 K（x0，0）使得∠AKN=∠BKN？若存在，求出点K的坐标；若不存在，说明理由．
已知点P1（x0，y0）为双曲线
x2
3b2
-
y2
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=1(b＞0，b为常数)上任意一点，F2为双曲线的右焦点，过P1作右准线的垂线，垂足为A，连接F2A并延长交y轴于点P2
（1）求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程；
（2）是否存在过点F2的直线l，使直线l与（1）中轨迹在y轴右侧交于R1、R2两不同点，且满足
OR1
•
OR2
=4b2，（O为坐标原点），若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由；
（3）设（1）中轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q（x1，y1）（y1≠0），直线QB、QD分别交y轴于M、N点，求证：以MN为直径的圆恒过两个定点．

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