Question

【题目】以下四个关于圆锥曲线的命题中

①设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线；

②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

③设定圆上一定点作圆的动点弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆；

④过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有3条；

其中真命题的序号为_________________.（写出所有真命题的序号）

Answer 1

【答案】②④

【解析】

试题分析：根据双曲线的定义，设为两个定义，为非零常数，当时，则动点的轨迹为双曲线，所以①不正确；解方程可得两根，因此可以作为椭圆的离心率，可以作为双曲线的离心率，因此方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，所以②是正确的；过定圆上一定点作圆的动弦为坐标原点，若，可得点为弦的中点，由垂径定理可得，因此动点的轨迹为圆，所以③不正确；④中，当直线的斜率不存在时，直线的方程为与抛物线的方程联立求解，此时直线与抛物线只有一个交点，当直线的斜率存在时，设直线方程，与抛物线方程联立得，当时，代入抛物线求得，此时直线与抛物线有一个交点，当，要使直线与抛物线只有一个交点需，求得，综合可知要使直线与抛物线仅有一个公共点，所以这样的直线共有条，所以是正确的，故选②④.