Question

【题目】如图，抛物线的焦点到准线的距离与椭圆的长半轴相等，设椭圆的右顶点为，在第一象限的交点为，为坐标原点，且的面积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过点的直线交抛物线于两点．

①求证：恒为钝角；

②射线分别交椭圆于两点，记的面积分别是，问是否存在直线，使得?若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析；② 存在，．

【解析】

试题分析：（1）由 ．又．将点代入椭圆方程椭圆为；（2）①设直线的方程

，

恒为钝角；②．由的斜率为：．由和

所求直线为．

试题解析： （1）由，可得椭圆的长半轴．

∵，∴，代入抛物线求得．

将点代入椭圆，可得，

所以椭圆为．

（2）①设直线的方程为，由得．

设，，则，，

∴，∴恒为钝角；

②．

因为直线的斜率为，所以直线的方程为．

由得，同理，

∴，

∴，

解之得：，所以所求直线为．