Question

定义在R上的奇函数f（x），f（3）=0，且对任意不等的正实数x₁，x₂都满足[f（x₁）-f（x₂）]（x₂-x₁）＜0，则不等式x³•f（-x）＞0的解集为（　　）

A、（-3，0）∪（0，3）

B、（-∞，-3）∪（3，+∞）

C、（-∞，-3）∪（0，3）

D、（-3，0）∪（3，+∞）

Answer 1

分析：先利用定义在R上的奇函数f（x），对任意不等的正实数x₁，x₂都满足[f（x₁）-f（x₂）]（x₂-x₁）＜0，得到函数f（x）是定义在R上的减函数，再利用函数f（x）是定义在R上的奇函数得f（-x）=-f（x），进而可解不等式．

解答：解：∵定义在R上的奇函数f（x），对任意不等的正实数x₁，x₂都满足[f（x₁）-f（x₂）]（x₂-x₁）＜0，
∴函数f（x）是定义在R上的增函数
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（-x）=-f（x）
∴不等式x³•f（-x）＞0等价于不等式x³•f（x）＜0，
∵f（3）=0，∴f（-3）=0，
∴不等式x³•f（x）＜0等价于

x＞0 f(x)＜f(3)

或

x＜0 f(x)＞f(-3)

∴-3＜x＜0或0＜x＜3
故选A．

点评：本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题．关键点有两处：①判断出函数f（x）的单调性；②利用奇函数的性质得到函数f（-x）=-f（x）．