Question

【题目】已知左、右焦点分别为的椭圆过点，且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点．

(I)求椭圆C的离心率和标准方程。

(II)圆与椭圆C交于A,B两点，R为线段AB上任一点，直线交椭圆C于P，Q两点，若AB为圆的直径，且直线的斜率大于1，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ) .

【解析】

（Ⅰ）利用椭圆C过点，∵椭圆C关于直线x＝c对称的图形过坐标原点，推出a＝2c，然后求解椭圆C的离心率，标准方程．

（Ⅱ）设A（），B（），利用中点坐标公式以及平方差法求出AB的斜率，得到直线AB的方程，代入椭圆C的方程求出点的坐标，设F1R：y＝k（x+1），联立，设P（x3，y3），Q（x4，y4），利用韦达定理，结合，，化简|PF1||QF1|，通过，求解|PF1||QF1|的取值范围．

(Ⅰ)∵椭圆过点，∴，①

∵椭圆关于直线对称的图形过坐标原点，∴，

∵，∴，②

由①②得，，

∴椭圆的离心率，标准方程为.

(Ⅱ)因为为圆的直径，所以点为线段的中点，

设，，则，，又，

所以，则，故，则直线的方程为，即.代入椭圆的方程并整理得，

则，故直线的斜率.

设，由，得，

设，，则有，.

又，，

所以=，

因为，所以，

即的取值范围是.