Question

【题目】已知抛物线上一点到焦点的距离．

（1）求的方程；

（2）过的直线与相交于，两点，的垂直平分线与相交于，两点，若，求直线的方程．

Answer 1

【答案】：（1）；（2）或

【解析】

（1）由抛物线的定义，得，代入抛物线的方程，求得，即可求得抛物线的方程；

（2）由题意可知，设的方程为，联立方程组，求得，，得到的中点的坐标和弦长，把直线的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理，弦长公式求得，由于垂直平分线段，故四点共圆等价于，由此求得的值，可得直线的方程．

解：（1）由抛物线的定义，得，又，

∴，即，∴．

∵在抛物线上，

∴，解得（舍去）或．

故的方程为．

（2）由题意可知，直线的斜率存在，且不等于0，故可设的方程为，由消去并整理，得．

其判别式

设，，则

∴．

∴的中点的坐标为，．

又的斜率为，其方程为即

由消去并整理，得，

其判别式

设，，则，

∴．

∴的中点的坐标为

∵，∴即，∴．

又，∴，

即

化简，得解得．

故所求直线的方程为，即或．

解法二：由得：，

．

，，，．

∴，

∴

由对称性有，所以也有．

即，是方程的两根，所以

，又因为，∴，解得：．

故所求直线的方程为，即或．