Question

为了响应学校“学科文化节”活动，数学组举办了一场数学知识比赛，共分为甲、乙两组．其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生．现从得满分的学生中，每组各任选2个学生，作为数学组的活动代言人．
（1）求选出的4个学生中恰有1个女生的概率；
（2）设X为选出的4个学生中女生的人数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学；从乙组内选出的2个同学中，1个是男同学，1个为女同学”为事件A，“从乙组内选出的2个同学均为男同学；从甲组内选出的2个同学中1个是男同学，
1个为女同学”为事件B，则所求概率为P（A+B），根据互斥事件的概率加法公式可求；
（2）X可能的取值为0，1，2，3，利用古典概型的概率加法公式可求X取相应值时的概率，从而可得分布列，利用数学期望公式可求得期望值；

解答：解：（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学；从乙组内选出的2个同学中，1个是男同学，
1个为女同学”为事件A，
“从乙组内选出的2个同学均为男同学；从甲组内选出的2个同学中1个是男同学，
1个为女同学”为事件B，由于事件A?B互斥，
且P（A）=

c 2 3 C 1 2 C 1 4

C 2 4 C 2 6

=

4

15

，P（B）=

C 1 3 C 2 4

C 2 4 C 2 6

=

1

5

，
∴选出的4个同学中恰有1个女生的概率为 P（A+B）=P（A）+P（B）=

4

15

+

1

5

=

7

15

；
（2）X可能的取值为0，1，2，3，
P（X=0）=

1

5

，P（X=1）=

7

15

，P（X=2）=

3

10

，P（X=3）=

1

30

，
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	1 5	7 15	3 10	1 30

∴X的数学期望EX=

7

15

+2×

3

10

+3×

1

30

=

7

6

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式，正确理解题意是解决问题的基础．