题目内容
已知函数f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[
，
]上的最小值与最大值．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[
| π |
| 8 |
| 3π |
| 4 |
分析：（1）函数f（x）解析式利用单项式乘多项式法则计算，利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式，即可求出函数f（x）的最小正周期；
（2）根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的单调性确定出f（x）的单调区间，即可求出最大值与最小值．
（2）根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的单调性确定出f（x）的单调区间，即可求出最大值与最小值．
解答：解：（1）f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1=2cos2x-2cosxsinx+1=cos2x-sin2x+2=
cos（2x+
）+2，
∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期为T=π；
（2）∵x∈[
，
]，
∴2x+
∈[
，
]，
∵余弦函数在[
，π]上为减函数，（π，
]上为增函数，
∴f（x）在区间[
，
]上是减函数，在区间（
，
]上是增函数，且f（
）=2，f（
）=2-
，f（
）=3，
∴函数f（x）在区间[
，
]上的最大值为3，最小值为2-
．
| 2 |
| π |
| 4 |
∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期为T=π；
（2）∵x∈[
| π |
| 8 |
| 3π |
| 4 |
∴2x+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 7π |
| 4 |
∵余弦函数在[
| π |
| 2 |
| 7π |
| 4 |
∴f（x）在区间[
| π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
∴函数f（x）在区间[
| π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
| 2 |
点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．
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