Question

【题目】在平面直角坐标系中, 是抛物线的焦点, 是抛物线上位于第一象限内的任意一点,过三点的圆的圆心为,点到抛物线的准线的距离为

(1)求抛物线的方程;

(2)若点的横坐标为,直线与抛物线有两个不同的交点 与圆有两个不同的交点,求当时, 的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由圆的性质可得Q点纵坐标 ，根据抛物线定义可得 即得抛物线方程（2）联立直线方程与抛物线方程。利用韦达定理及弦长公式可得，利用垂径定理可得，这样得到关于k的函数关系式，最后利用导数求其最值。

试题解析：(1)F抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F,

设M,,由题意可知,

则点Q到抛物线C的准线的距离为,解得,

于是抛物线C的方程为。

(Ⅲ)若点M的横坐标为,则点M,。

由可得,

设,

圆,

,

于是,

令,

设,,

当时,,

即当时.

故当时,。