题目内容
（2006•宝山区二模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AC1与底面成60°角，E、F分别为AA1、AB的中点．求异面直线EF与AC1所成角的大小．分析：根据直三棱柱的性质，得∠C1AC就是AC1与底面ABC所成的角，可得∠C1AC=60°，Rt△C1AC中算出AC1=4．以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，可得向量
、
的坐标，利用空间向量的夹角公式算出cos＜
，
＞=
，即可得到异面直线EF与AC1所成角的大小．
| EF |
| AC1 |
| EF |
| AC1 |
| ||
| 5 |
解答：解：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵CC1⊥平面ABC，
∴∠C1AC就是AC1与底面ABC所成的角，得∠C1AC=60°，
Rt△C1AC中，AC=2，所以AC1=4，…（3分）
以C为坐标原点，CA为x轴、CB为y轴、CC1为z轴，
建立空间直角坐标系，
设异面直线EF与AC1所成的角为θ，
可得A（2，0，0），C1(0，0，2
)，E(2，0，
)，
F（1，1，0），…（7分）
∴
=(-1，1，-
)，
=(-2，0，2
)，…（9分）
可得cosθ=
=
，所以θ=arccos
即异面直线EF与AC1所成角的大小为arccos
．…（12分）
∵CC1⊥平面ABC，
∴∠C1AC就是AC1与底面ABC所成的角，得∠C1AC=60°，
Rt△C1AC中，AC=2，所以AC1=4，…（3分）
以C为坐标原点，CA为x轴、CB为y轴、CC1为z轴，
建立空间直角坐标系，
设异面直线EF与AC1所成的角为θ，
可得A（2，0，0），C1(0，0，2
| 3 |
| 3 |
F（1，1，0），…（7分）
∴
| EF |
| 3 |
| AC1 |
| 3 |
可得cosθ=
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| ||||
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| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
即异面直线EF与AC1所成角的大小为arccos
| ||
| 5 |
点评：本题在直三棱柱中求异面直线所成角的大小．着重考查了直棱柱的性质、直线与平面所成角的定义和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．
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