Question

已知α是△ABC的一个内角，且sinα+cosα=

1

5

，则sin2α+cos²α的值为（　　）

• A．-

  3

  5

• B．-

  8

  25

• C．

  33

  25

• D．-

  3

  5

  或-

  8

  25

Answer 1

分析：由sinα+cosα=

1

5

平方，可求得sin2α，根据其符号及已知可判断α范围，进而求得2α范围，从而可判断cos2α的符号，利用平方关系求得cos2α，用倍角公式可得cos²α．

解答：解：由sinα+cosα=

1

5

，得(sinα+cosα)2=

1

25

，即1+2sinαcosα=

1

25

，
所以sin2α=-

24

25

，且sinα＞0，cosα＜0，|sinα|＞|cosα|，
所以

π

4

＜α＜

3

4

π，

π

2

＜2α＜

3

2

π，
所以cos2α=-

1-sin22α

=-

7

25

，cos²α=

1+cos2α

2

=

9

25

，
所以sin2α+cos²α=-

24

25

+

9

25

=-

3

5

，
故选A．

点评：本题考查二倍角的正弦、同角三角函数间的基本关系、三角函数 化简求值，解决本题的关键是α范围的限制．