Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AB=AA₁=2

2

，且AA₁⊥底面ABC，点D是AB的中点，点E是BB₁的中点．
（1）求证：A₁B⊥平面CDE；
（2）求直线A₁C与平面CDE所成的角；
（3）求三棱锥A₁-CDEDE 体积．

Answer 1

分析：（1）欲证A₁B⊥平面CDE，只需证明A₁B垂直平面CDE内两条相交直线即可，而A₁B⊥DE，CD⊥A₁B，CD∩DE=D，CD，DE?面CDE，满足线面垂直的判定定理，结论得证；
（2）根据CF为A₁C在面CDE上的射影，则∠A₁CF是A₁C和面CDE所成的角，在Rt△A₁FC中求出此角即可；
（3）在Rt△CDE中，求出CD，DE的长，以及S△CDE=

2

，最后根据三棱锥的体积公式进行求解即可．

解答：解：（1）∵AA₁⊥底面ABC，CD?面ABC
∴AA₁⊥CD
∵AC=BC，点D是AB的中点
∴AB⊥CD
∵AA₁∩AB=A，AA₁，AB?面A₁ABB₁∴CD⊥面A₁ABB₁
∵A₁B?面A₁ABB₁
∴CD⊥A₁B
∵正方形A₁ABB₁中，DE∥AB₁，A₁B⊥AB₁
∴A₁B⊥DE
∵CD∩DE=D，CD，DE?面CDE
∴A₁B⊥面CDE
（2）设AB₁∩DE=F，
∵A₁B⊥面CDE∴CF为A₁C在面CDE上的射影
∴∠A₁CF是A₁C和面CDE所成的角
在Rt△A₁FC中，A₁F=3，A₁C=2

3

，∴sin∠A1CF=

A1F

A1C

=

3

2

，
∴∠A₁CF=60°，∴A₁C和面CDE所成的角为60°
（3）在Rt△CDE中，CD=

2

，DE=2，∴S△CDE=

2

∴VA1-CDE=

1

3

×S△CDE×A1F=

2

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理以及线面所成角的度量和体积的计算，同时考查了计算能力和论证推理能力，属于中档题．