Question

【题目】已知数列满足对任意的，都有，

且．

（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；

（3）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数 恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）实数a的取值范围是 .

【解析】

试题分析：

（1）当n=1，n=2时，直接代入条件且，可求得；

（2）递推一项，然后做差得，所以；由于，即当时都有，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故求得数列的通项公式；

（3）由（2）知，则，利用裂项相消法得，根据单调递增得 ，要使不等式对任意正整数n恒成立，只要，即可求得实数a的取值范围.

试题解析：

（1）解：当时，有，

由于，所以 ．

当时，有，

将代入上式，由于，所以．

（2）解：由于，①

则有．②

②－①，得，

由于，所以③

同样有，④

③－④，得．

所以．

由于，即当时都有，

所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．

故．

（3）解：由（2）知，则，所以

，∴数列单调递增 ．

.

要使不等式对任意正整数n恒成立，只要 ．

.

，即 .

所以，实数a的取值范围是 ．