Question

已知椭圆E的焦点在x轴上，长轴长为4，离心率为

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）已知点A（0，1）和直线l：y=x+m，线段AB是椭圆E的一条弦且直线l垂直平分弦AB，求实数m的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆E的长轴长为4，∴a=2，离心率为

3

2

．
∴

c

a

=

3

2

，c=

3

，∴b=1
∵椭圆E的焦点在x轴上，
∴椭圆E的标准方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）由条件可得直线AB的方程为y=-x+1．于是，有

y=-x+1 x2 4 +y2=1

?5x2-8x=0?xB=

8

5

，yB=-xB+1=-

3

5

．
设弦AB的中点为M，则由中点坐标公式得xM=

4

5

，yM=

1

5

，由此及点M在直线l得

1

5

=

4

5

+m?m=-

3

5

．