题目内容

(2008•深圳一模)已知椭圆E的焦点在x轴上,长轴长为4,离心率为
3
2

(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)已知点A(0,1)和直线l:y=x+m,线段AB是椭圆E的一条弦且直线l垂直平分弦AB,求实数m的值.
分析:(Ⅰ)根据已知可求出椭圆中的a,b的值,再根据椭圆的焦点在x轴上,就可得到椭圆方程.
(Ⅱ)根据直线AB与直线l:y=x+m垂直,可得直线AB的斜率,结合A点坐标就可求出直线AB的方程,代入椭圆方程,化简,利用韦达定理求出AB的中点坐标,代入直线l的方程,就可求出m的值.
解答:解:(Ⅰ)∵椭圆E的长轴长为4,∴a=2,离心率为
3
2

c
a
=
3
2
,c=
3
,∴b=1
∵椭圆E的焦点在x轴上,
∴椭圆E的标准方程为
x2
4
+y2=1

(Ⅱ)由条件可得直线AB的方程为y=-x+1.于是,有
y=-x+1
x2
4
+y2=1
?5x2-8x=0?xB=
8
5
yB=-xB+1=-
3
5

设弦AB的中点为M,则由中点坐标公式得xM=
4
5
yM=
1
5
,由此及点M在直线l得
1
5
=
4
5
+m?m=-
3
5
点评:本题主要考查了椭圆的性质,标准方程,以及直线与椭圆相交问题中韦达定理的应用.
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