Question

（2012•贵州模拟）已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为

1

2

，对称轴为坐标轴，且经过点(1，

3

2

)．
（I）求椭圆E的方程；
（II）直线y=kx-2与椭圆E相交于A、B两点，O为原点，在OA、OB上分别存在异于O点的点M、N，使得O在以MN为直径的圆外，求直线斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．离心率为

1

2

，且经过点(1，

3

2

)．能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）联立方程组

y=kx-2 x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²-16kx+4=0，由直线与椭圆有两个交点，解得k2＞

1

4

，由原点O在以MN为直径的圆外，知∠MON为锐角，由此能求出直线斜率k的取值范围．

解答：解：（I）依题意，可设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由

c

a

=

1

2

⇒a=2c，b2=a2-c2=3c2，
∵椭圆经过点(1，

3

2

)，则

1

4c2

+

9

12c2

=1，解得c²=1，
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）联立方程组

y=kx-2 x2 4 + y2 3 =1

，消去y整理得（4k²+3）x²-16kx+4=0，
∵直线与椭圆有两个交点，
∴△=（-16k）²-16（4k²+3）＞0，解得k2＞

1

4

，①
∵原点O在以MN为直径的圆外，
∴∠MON为锐角，即

OM

•

ON

＞0．
而M、N分别在OA、OB上且异于O点，即

OA

•

OB

＞0，
设A，B两点坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

OA

•

OB

=(x1，y1)•(x2，y2)=x1x2+y1y2
=（k²+1）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4═(k2+1)

4

4k2+3

-2k

16k

4k2+3

+4＞0
解得k2＜

4

3

，②
综合①②可知：k∈(-

2 3

3

，-

1

2

)∪(

1

2

，

2 3

3

)．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．